統計検定1級 統計数理 2016年問1

問題要約

$$X_i はN(\mu, 1)に従う$$

問1

$$\theta=e^{\mu}$$

$$とするときの尤度関数L(\theta), \thetaの最尤推定量 \hat{\theta}を求めよ$$

問2

$$bias (\hat{\theta})を求めよ$$

$$\tilde{\theta}=exp\left[\bar{X}-\frac{1}{2n}\right]$$

$$が\thetaの不偏推定量であることを示す$$

問3

$$MSE[\hat{\theta}]=E[(\hat{\theta}-\theta)^2]を求める。$$

$$\lim_{n \to \infty} MSE[\hat{\theta}]=0を示す。$$

問4

$$フィッシャー情報量I(θ)を求める。$$

$$V[\tilde{\theta}]がクラメルラオの下限に一致するか調べる$$