概観
テーマ的には共分散構造分析か……?
パッと見イカツイ感じがしますが、論述問題の他の2問と比べれば問題文をなぞっていくだけで解けるので希望が持てる問題かと思っています。
なんとなーく時系列の問題のような感覚で読んでいったら、私は解けました。
「相関係数の定義覚えてますか~」から始まっている問題みたいなもんです。
偏相関の求め方は覚えていなかったら[1]-(2)は無理です。
これを機に覚えましょう。
解答
[1]
(1)
相関行列があるのでこの値をうまく使ってやれば解ける。
めっちゃ当たり前のことだけど丁寧に書いてみると……
$$\rho_{12}=0.8=\frac{Cov[X_1,X_2]}{\sqrt{V[X_1]}\sqrt{V[X_2]}}=\frac{E[X_1 X_2]-E[X_1]E[X_2]}{\sqrt{V[X_1]}\sqrt{V[X_2]}}$$
だが、
$$X_1,X_2,X_3は標準化されているので、$$
$$\rho_{12}=0.8=\frac{E[X_1 X_2]-1・1}{1・1}$$
$$E[X_1X_2]=0.8$$
同様にすれば、任意のi,jについて
$$E[X_iX_j]$$
がわかるのでこれを使えば解ける＼(^o^)／
$$X_1X_2=\beta_{12}X_1^2+X_1\epsilon_2$$
$$\Leftrightarrow 0.8=\beta_{12}・1+0$$
$$∵X_1と\epsilon_2は無相関。$$
$$X_1X_3=\beta_{13}X_1^2+\beta_{23}X_1X_2+X_1\epsilon_3$$
$$X_2X_3=\beta_{13}X_1X_2+\beta_{23}X_2^2+X_2\epsilon_3$$
から、導かれる以下の連立方程式を解いて、
$$0.6=\beta_{13}+0.8\beta_{23}$$
$$0.7=0.8\beta_{13}+\beta_{23}$$
$$\beta_{12}=0.8(=\frac{4}{5}),\beta_{13}=\frac{1}{9},\beta_{23}=\frac{11}{18}$$
略解にモーメント法って書いてあった理由がわからなかった……
(2)
$$r_{23|1}=\frac{r_{23}-r_{12}r_{13}}{\sqrt{1-r_{12}^2}\sqrt{1-r_{13}^2}}$$
わかっている値を放り込んで、
$$\frac{0.7-0.8\times 0.6}{\sqrt{1-0.8^2}\sqrt{1-0.6^2}}=\frac{0.22}{0.6\times 0.8}$$
$$r_{23|1}=\frac{11}{24}$$
[2]
モデル2において、
$$E[X_2X_3]=\gamma_{23}X_{23}+\epsilon_3’$$
$$\Leftrightarrow 0.7=\gamma_{23}$$
モデル1なら、
$$E[X_2X_3]=\beta_{13}E[X_1X_2]+\beta_23E[X_2^2]$$
$$\Leftrightarrow 0.7=0.8\beta_{13}+\beta_{23}$$
$$見比べると、0.8\beta_{13}だけ差があるので不適。$$
[3]
$$E[X_3|Z=1]=\beta_{13}E[X_1|Z=1]+\beta{23}E[X_2|Z=1]+E[\epsilon_3|Z=1]$$
$$\Leftrightarrow 0.2=0+0.4\beta_{23}+0$$
$$E[X_3|Z=0]=\beta_{13}E[X_1|Z=0]+\beta{23}E[X_2|Z=0]+E[\epsilon_3|Z=0]$$
$$\Leftrightarrow -0.4=0+-0.2\beta_{23}+0$$
$$Z=０,1で共に\beta_{23}=\frac{1}{2}なので、$$
$$\hat{\beta_{23}}=\frac{1}{2}$$