【2016年】統計検定準1級 解説 短答問題

問1 変動係数

$$(\mathrm{変}\mathrm{動}\mathrm{係}\mathrm{数})=\frac{\mathrm{標}\mathrm{準}\mathrm{偏}\mathrm{差}}{\mathrm{平}\mathrm{均}}$$

で表され、「平均値の何%の散らばり具合なのか」を知る指標とでも把握しておく。

[1]

$$\frac{11}{55}=\frac{1}{5}$$

[2]

平均が50→60になったが、変動係数がそのままということは、sを1か月後の標準偏差とすると、

$$\frac{s}{60}=\frac{1}{5}\iff s=12$$

問2 期待値

問題文からして、あり得るのは、

①:(1,1,2,3,3,4)か②:(1,2,2,3,4,4)

の2パターン。

それぞれの場合に期待値を計算してみる。

①のとき、

$$E[X]=\frac{1}{6}\left(\begin{array}{c}1+1+2+3+3+4\end{array}\right)=\frac{7}{3}$$

②のとき、

$$E[X]=\frac{1}{6}\left(\begin{array}{c}1+2+2+3+4+4\end{array}\right)=\frac{8}{3}$$

[2]

Y=3となる目の組み合わせは、

(1,3),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)

だが、2の目は2つあるので、

Y=3となるのは7通り。

$$P(Y=3)=\frac{7}{36}$$

問3 適合度検定

[1]

$${\chi }^2=\sum \frac{(\mathrm{観}\mathrm{測}\mathrm{度}\mathrm{数}-\mathrm{期}\mathrm{待}\mathrm{度}\mathrm{数}{)}^2}{\mathrm{期}\mathrm{待}\mathrm{度}\mathrm{数}}=\frac{17}{3}$$

[2]

$${\chi }_{0.05}^2(7-1)=12.59>{\chi }^2=\frac{17}{3}$$

より、臨界値は12.59で帰無仮説は棄却されない。

問4 区間推定、検定

[1]

問5 検出力

検出力の理解が問われる良問。

[1]

二項分布の正規近似を前提にすると、

$$P(\hat{p}\ge c)=0.05$$

$$\iff \frac{c-0.4}{\sqrt{\frac{0.4\times 0.6}{n}}}=1.645$$

$$\begin{array}{}\text{(1)}& c=0.4+1.645\sqrt{0.24n}\end{array}$$

n=600なので、c=0.433を得る。

答えは③

[2]

$$H_1\mathrm{下}\mathrm{で}\mathrm{の}P(\hat{p}\ge c)\mathrm{を}{P}_1(\hat{p}\ge c)\mathrm{と}\mathrm{す}\mathrm{る}。$$

Z~N(0,1)として、

$$P_1(\hat{p}\ge c)\iff P_1(Z_{\alpha }\ge -0.85)=1-0.1977\approx 0.8$$

答えは⑤

[3]

(1)式より、

$$P(\hat{p}\ge c)=0.05\mathrm{を}\mathrm{満}\mathrm{た}\mathrm{す}\mathrm{と}\mathrm{き}、$$

$$c=0.4+1.645\sqrt{0.24n}$$

このとき、検出力を95%をするには

$$P_1(\hat{p}\ge c)=0.95\mathrm{を}\mathrm{解}\mathrm{け}\mathrm{ば}\mathrm{よ}\mathrm{い}$$

$$\iff \frac{0.4+1.645\sqrt{0.24n}-0.45}{\sqrt{\frac{0.45\times 0.55}{n}}}=-1.645$$

計算すると、

$$n\approx 1055\mathrm{を}\mathrm{得}\mathrm{る}。$$

答えは⑤

問6 回帰分析

[1]

$$S_e^2,S_t^2,f_e,f_tをそれぞれ残差と全体の平方和、自由度とすると、

$${\overline{R}}^2=1-\frac{\frac{S_e^2}{f_e}}{\frac{S_t^2}{f_t}}$$

$${\overline{R}}^2=1-\frac{20}{19}\left(\begin{array}{c}1-R^2\end{array}\right)\approx -0.0135$$

答えは①

[2]

DW=2-2ρより、

$$2.98=2-2\hat{\rho }\iff \hat{\rho }=-0.49$$

また、

$$\hat{\rho}< 0より残差は毎度符号が逆転するので(ウ)が適している。

答えは⑤

問7 フィッシャーの3原則

①,②:効果の差がわからないから意味がない。

③:局所管理を満たしている。

④:これでわかるのは水はけによる差で、肥料の差はわからない。

⑤:局所管理は畑の状態を整えるではない。

答えは③

問8 確率分布

[1]

$$P(T\le t)=1-P(T>t)=F(t)\mathrm{と}\mathrm{す}\mathrm{る}。$$

$$f(t)=F^{\prime }(t)=(1-e^{-\lambda t}{)}^{\prime }=\lambda e^{-\lambda t}$$

答えは④

[2]

$$E[t]={\int }_0^{infty}t\lambda e^{-\lambda t}dt=\frac{1}{\lambda }$$

※部分積分

メジアンをmとすると、

$${\int }_0^m\lambda e^{-\lambda t}dt=F(m)=1-e^{-\lambda m}=\frac{1}{2}$$

$$\iff m=\frac{\log 2}{\lambda }$$

答えは⑤

[3]

標本平均=2

$$\iff \lambda =\frac{1}{2}$$

$$\hat{m}=2\log 2\approx 2\times 0.7=1.4$$

答えは②

問9 分散分析

[1]

①:F値の和は関係ない。

②:F値が変わるのでもちろんP値も変わる。

③:F値は変わる。

④:触媒と温度の交互作用の変動が残差に吸収されるので、残差の平方和は増える。

⑤:触媒と温度の交互作用の自由度は残差の自由度に吸収される。

答えは④

[2]

触媒と温度の交互作用は有意ではないので、①,②,③は不適。

④,⑤のどちらかが答えだが、前後でF値は、

$$F^{\prime }=\frac{\frac{48}{2}}{\frac{168+346}{4+9}}$$

になるが、有意ではないので④が答えになる。

問10 ベイズの定理

[1]

政治をP、経済をE、社会をS、

国会をC、株価をFとする。

P(P)=0.2、P(E)=0.3、P(S)=0.5

P(F)=P(F|P)+P(F|E)+P(F|S)

P(F)=0.02+0.12+0.05=0.19

答えは②

[2]

求めるのは、

$$\frac{P(P|C\cap \overline{F})}{P(E|C\cap \overline{F})}$$

$$P(P|C\cap \overline{F})=\frac{P(C\cap \overline{F}|P)P(P)}{P(C\cap \overline{F})}=\frac{P(C|P)P(\overline{F}|P)P(P)}{P(C\cap \overline{F})}$$

$$\iff \frac{0.3\times 0.9\times 0.2}{P(C\cap \overline{F})}$$

$$P(E|C\cap \overline{F})=\frac{P(C\cap \overline{F}|E)P(E)}{P(C\cap \overline{F})}=\frac{P(C|E)P(\overline{F}|E)P(E)}{P(C\cap \overline{F})}$$

$$\iff \frac{0.1\times 0.6\times 0.3}{P(C\cap \overline{F})}$$

よって、

$$\frac{P(P|C\cap \overline{F})}{P(E|C\cap \overline{F})}=3$$

答えは④

問11 マルコフ連鎖

[1]

条件に従えば、答えは④

[2]

平衡方程式を解くと、

$$\left(\begin{array}{cc}{p}_t& q_t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a{p}_{t-1}+c{q}_{t-1}\\ b{p}_{t-1}+d{q}_{t-1}\end{array}\right)$$

問題文に即せば、

$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{6}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{5}{6}\end{array}\right)$$

[3]

$$\left(\begin{array}{cc}p& q\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}p& q\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{6}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{5}{6}\end{array}\right)$$

これを解くと、

$$p=\frac{3}{8}$$

を得る。

答えは①

問12 欠測値

[1]

(ア)は二つの正規分布が1:1になっているので山がくっつく。

(イ)は3:7で、N(2,0.25)のほうが割合が大きい。

答えは①