2013年 統計数理 第1問 解答

学習記録
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市販の過去問の解説が気に食わなかったため、素朴な解答を考えてみました。

変数変換は分布関数からではなく、置換積分と同じようにやるほうが性に合っています。脳筋っぽくていいと思います。

[1]

$$X~U\left(0,\frac{1}{2}\right)、Y~\left(\frac{1}{2},1\right)$$

であることがわかります。

私もですが、円周を2πだと思いこんで解いてしまう人が多発します笑
その時はπ=1/2をあとから代入して帳尻を合わせましょう。
一様分布の期待値や分散を覚えている人もあまりいないでしょうから、確率密度関数を求めて、普通に積分しましょう。
$$f_X(x)=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$$
$$E[X]=\int_0^{\frac{1}{2}}2x\,dx$$
$$\Leftrightarrow \left[ x^2\right]_0^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}$$
$$E[Y]=E[1-X]=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$
$$E[X^2]=\int_0^{\frac{1}{2}}2x^2\,dx$$
$$\frac{2}{3}\left[\frac{1}{8}\right]=\frac{1}{12}$$
$$V[X]=\frac{1}{12}-\left(\frac{1}{4}\right)^2=\frac{1}{48}$$
$$\sqrt{V[X]}=\sqrt{\frac{1}{48}}$$
$$V[Y]=V[1-X]=(-1)^2V[X]=V[X]$$
相関係数について、
$$\rho_{XY}=\frac{Cov[X,Y]}{\sqrt{V[X]V[Y]}}$$
$$Cov[X,Y]=E[XY]-E[X]E[Y]$$
$$\Leftrightarrow E[X-X^2]-\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}$$
$$\Leftrightarrow \frac{1}{4}-\frac{1}{12}-\frac{3}{16}=\frac{-1}{48}$$
Cov[X,Y]、V[X]、V[Y]が出揃ったので計算してみる。
$$\rho_{XY}=\frac{Cov[X,Y]}{\sqrt{V[X]V[Y]}}$$
$$\Leftrightarrow\frac{\frac{-1}{48}}{\frac{1}{48}}=-1$$

[2]

ここからも脳筋プレーをかましていく。

$$W=\frac{X}{Y}=\frac{X}{1-X}$$

$$(1-X)W=X\Leftrightarrow W=(W+1)X$$

$$\frac{W}{W+1}=X$$

$$\left(\frac{w}{w+1}\right)^{\prime} dw=dx$$

$$\frac{1}{(w+1)^2}dw=dx$$

$$f_W(w)=\frac{1}{(w+1)^2}f_X\left(\frac{w}{w+1}\right)$$

$$f_W(w)=\frac{2}{(w+1)^2}$$

0≦x≦1→0≦w≦1に気をつけると。

$$F_W(w)=2\int_0^w(t+1)^{-2}dt$$

t+1=uとして変数変換。

$$F_W(w)=2\int_1^{w+1}u^{-2}du=\frac{2w}{w+1}$$

グラフの形は適当に。

[3]

$$E[W]=\int_0^1w\cdot2\left(1+w\right)^{-2}dw$$

$$\Leftrightarrow \int_1^2\left(u-1\right)\cdot2u^{-2}du=2log2-1$$

中央値をmとすると。

$$F_W(m)=\frac{1}{2}$$

$$\Leftrightarrow \frac{2\cdot m}{m+1}=\frac{1}{2}$$

$$\Leftrightarrow m=\frac{1}{3}$$

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