【2016年】統計検定準1級 解説 短答問題

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問1 変動係数

$$(変動係数)=\frac{標準偏差}{平均}$$

で表され、「平均値の何%の散らばり具合なのか」を知る指標とでも把握しておく。

[1]

$$\frac{11}{55}=\frac{1}{5}$$

[2]

平均が50→60になったが、変動係数がそのままということは、sを1か月後の標準偏差とすると、

$$\frac{s}{60}=\frac{1}{5}\Leftrightarrow s=12$$

問2 期待値

問題文からして、あり得るのは、

①:(1,1,2,3,3,4)か②:(1,2,2,3,4,4)

の2パターン。

それぞれの場合に期待値を計算してみる。

①のとき、

$$E[X]=\frac{1}{6}\begin{pmatrix}1+1+2+3+3+4\end{pmatrix}=\frac{7}{3}$$

②のとき、

$$E[X]=\frac{1}{6}\begin{pmatrix}1+2+2+3+4+4\end{pmatrix}=\frac{8}{3}$$

[2]

Y=3となる目の組み合わせは、

(1,3),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)

だが、2の目は2つあるので、

Y=3となるのは7通り。

$$P(Y=3)=\frac{7}{36}$$

問3 適合度検定

[1]

曜日
観測度数6453681042
期待度数666666642
$$(観測度数-期待度数)^2$$0419041634

$$\chi^2=\sum\frac{(観測度数-期待度数)^2}{期待度数}=\frac{17}{3}$$

[2]

$$\chi^2_{0.05}(7-1)=12.59>\chi^2=\frac{17}{3}$$

より、臨界値は12.59で帰無仮説は棄却されない。

カイ2乗検定では、差を二乗しているので、下側確率を考えていない。

問4 区間推定、検定

[1]

$$\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2_B}=\frac{\sum(X-\bar{X})^2}{\sigma^2}~\chi^2(n-1)$$
※証明は非常に難しい。
$$\chi^2_{0.05}(15)=6.26 \leq \frac{\sum(X-\bar{X})^2}{\sigma^2_B}=\frac{(T_B^2)}{\sigma^2_B}\leq \chi^2_{0.95}(15)=27.49$$
$$\Leftrightarrow 3.27 \leq \sigma_B \leq 14.38$$
答えは②
[2]
F分布における自由度はn-1つまり今回は15。
$$F_{0.05}(15,15)=2.203\geq F=2.0$$
答えは①

問5 検出力

検出力の理解が問われる良問。

[1]

二項分布の正規近似を前提にすると、

$$P(\hat{p}\geq c)=0.05$$

$$\Leftrightarrow \frac{c-0.4}{\sqrt{\frac{0.4\times 0.6}{n}}}=1.645$$

$$c=0.4+1.645\sqrt{{0.24}{n}}\tag{1}$$

n=600なので、c=0.433を得る。

答えは③

[2]

$$H_1下でのP(\hat{p}\geq c)をP_1(\hat{p}\geq c)とする。$$

Z~N(0,1)として、

$$P_1(\hat{p}\geq c)\Leftrightarrow P_1(Z_{\alpha}\geq -0.85)=1-0.1977\approx 0.8$$

答えは⑤

[3]

(1)式より、

$$P(\hat{p}\geq c)=0.05を満たすとき、$$

$$c=0.4+1.645\sqrt{{0.24}{n}}$$

このとき、検出力を95%をするには

$$P_1(\hat{p}\geq c)=0.95を解けばよい$$

$$\Leftrightarrow \frac{0.4+1.645\sqrt{{0.24}{n}}-0.45}{\sqrt{\frac{0.45\times 0.55}{n}}}=-1.645$$

計算すると、

$$n\approx 1055 を得る。$$

答えは⑤

問6 回帰分析

[1]

$$S_e^2,S_t^2,f_e,f_tをそれぞれ残差と全体の平方和、自由度とすると、

$$\bar{R}^2=1-\frac{\frac{S_e^2}{f_e}}{\frac{S_t^2}{f_t}}$$

$$\bar{R}^2=1-\frac{20}{19}\begin{pmatrix}1-R^2\end{pmatrix}\approx -0.0135$$

答えは①

[2]

DW=2-2ρより、

$$2.98=2-2\hat{\rho}\Leftrightarrow \hat{\rho}=-0.49$$

また、

$$\hat{\rho}< 0より残差は毎度符号が逆転するので(ウ)が適している。

答えは⑤

問7 フィッシャーの3原則

①,②:効果の差がわからないから意味がない。

③:局所管理を満たしている。

④:これでわかるのは水はけによる差で、肥料の差はわからない。

⑤:局所管理は畑の状態を整えるではない。

答えは③

問8 確率分布

[1]

$$P(T\leq t)=1-P(T>t)=F(t)とする。$$

$$f(t)=F'(t)=(1-e^{-\lambda t})’=\lambda e^{-\lambda t}$$

答えは④

[2]

$$E[t]=\int_{0}^{infty}t\lambda e^{-\lambda t}dt=\frac{1}{\lambda}$$

※部分積分

メジアンをmとすると、

$$\int_{0}^{m}\lambda e^{-\lambda t}dt=F(m)=1-e^{-\lambda m}=\frac{1}{2}$$

$$\Leftrightarrow m=\frac{\log 2}{\lambda}$$

答えは⑤

[3]

標本平均=2

$$\Leftrightarrow \lambda=\frac{1}{2}$$

$$\hat{m}=2\log 2\approx 2\times 0.7=1.4$$

答えは②

問9 分散分析

[1]

①:F値の和は関係ない。

②:F値が変わるのでもちろんP値も変わる。

③:F値は変わる。

④:触媒と温度の交互作用の変動が残差に吸収されるので、残差の平方和は増える。

⑤:触媒と温度の交互作用の自由度は残差の自由度に吸収される。

答えは④

[2]

触媒と温度の交互作用は有意ではないので、①,②,③は不適。

④,⑤のどちらかが答えだが、前後でF値は、

$$F’=\frac{\frac{48}{2}}{\frac{168+346}{4+9}}$$

になるが、有意ではないので④が答えになる。

問10 ベイズの定理

[1]

政治をP、経済をE、社会をS、

国会をC、株価をFとする。

P(P)=0.2、P(E)=0.3、P(S)=0.5

P(F)=P(F|P)+P(F|E)+P(F|S)

P(F)=0.02+0.12+0.05=0.19

答えは②

[2]

求めるのは、

$$\frac{P(P|C\cap\bar{F})}{P(E|C\cap\bar{F})}$$

$$P(P|C\cap\bar{F})=\frac{P(C\cap\bar{F}|P)P(P)}{P(C\cap\bar{F})}=\frac{P(C|P)P(\bar{F}|P)P(P)}{P(C\cap\bar{F})}$$

$$\Leftrightarrow \frac{0.3\times 0.9\times 0.2}{P(C\cap \bar{F})}$$

 

$$P(E|C\cap\bar{F})=\frac{P(C\cap\bar{F}|E)P(E)}{P(C\cap\bar{F})}=\frac{P(C|E)P(\bar{F}|E)P(E)}{P(C\cap\bar{F})}$$

$$\Leftrightarrow \frac{0.1\times 0.6\times 0.3}{P(C\cap \bar{F})}$$

 

よって、

$$\frac{P(P|C\cap\bar{F})}{P(E|C\cap\bar{F})}=3$$

答えは④

問11 マルコフ連鎖

[1]

条件に従えば、答えは④

[2]

平衡方程式を解くと、

$$\begin{pmatrix}p_t&q_t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ap_{t-1}+cq_{t-1}\\bp_{t-1}+dq_{t-1}\end{pmatrix}$$

問題文に即せば、

$$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{5}{6}\end{pmatrix}$$

[3]

$$\begin{pmatrix}p&q\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p&q\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{5}{6}\end{pmatrix}$$

これを解くと、

$$p=\frac{3}{8}$$

を得る。

答えは①

問12 欠測値

[1]

(ア)は二つの正規分布が1:1になっているので山がくっつく。

(イ)は3:7で、N(2,0.25)のほうが割合が大きい。

答えは①

 

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