統計数理を効率的に学べる個人的な良問5選

統計学
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統計数理は公式テキストの目次に従えば5項目ある。

  1. 確率と確率変数
  2. 種々の確率分布
  3. 統計的推定
  4. 仮説検定
  5. データ解析

前から順にテキストを読むよりも、この5項目のノリというか基本的な考え方をふわっと理解してからテキストをみると理解の深さがだいぶ変わる。というのもテキストを読んでいるだけでは実際にどういう使いかたがなされるかがわからず、数学科や物理学科並みに数学ができる人以外はだいたいわかった(わかったつもり)にしかならない。

※過去問載せると怒られるかもしれないので気になる人は買ってください……

僕は友達と割り勘で買ってスキャンしてPDFで保存しました。

2017年のやつ以外は入手が難しいですが、楽天ブックスでは数日間で取り寄せて買うことができる場合が多いと出版元からハガキで教えてもらいました(笑)

 

1.確率と確率変数

推奨問題:2013年統計数理 問1

確率変数って日本語訳が微妙なせいもあってわかっていないというパターンは割と多い。

実現値と確率変数(Random variable)の違いがちゃんとわかっているか。分布関数って元々どういうものなのか。

一見簡単そうな問題なのにその辺がちゃんとわかっているのかの試金石になるいい問題。

どこかの大学の先生とかが作ってるんだろうけど、作った人頭いいな。と思った(当たり前)

2.種々の確率分布

推奨問題:2017年統計数理 問3

  • モーメント母関数と期待値、分散
  • 畳み込み
  • 分布の再生性
  • 確率分布とモーメント母関数が1対1に対応していること
  • 変数変換
  • 漸近分布

1問で確率分布に関することがほぼマスターできる。

この問題が理解できたら後はやることはどんな分布でも同じ。

確率分布から期待値→不偏推定/最尤推定というのはもはや鉄板なので、推定をやるためにも必須。

あと、代数的な処理に終始できるからラク。

そして、最重要。

3.統計的推測

推奨問題:2016年統計数理 問1

  • 最尤推定
  • 不偏推定
  • 平均二乗誤差
  • 一様最小分散不偏推定量(UMVUE)
  • フィッシャー情報量

について学べる問題。これ一問で推定は大方網羅しているのでとても身になる問題かと思う。

上記の問題には出ていないけれどこれ以外だと、

{(n-1)S^2}/σ^2~χ^2(n-1)

ということを使って、V(S^2)を求める小技はマジでチェックしておくといい。

4.仮説検定

推奨問題:2015年統計数理 問2

検定のめっちゃオーソドックスな問題。

  • Z分布への変換
  • P‐値の定義
  • 検出力(Power)と検出力関数
  • 一様最強力検定(ネイマン・ピアソンの補題)

をさらえるセット。

尤度比検定、スコア検定、ワルド検定とかその辺がもう少しがっつり出てもいいような気はするけど何よりも仮説検定の何たるかが学べるとてもいいセットとだけ言いたい。

5.データ分析手法

推奨問題:2016年統計数理 問3

(3)の大小比較は「二度とやらんわ、こんなクソゲー」とか思ってしまうくらいエグい。(当社比)

それ以外は普通に正規方程式を解いて推定値を求める計算ゲーなのだけれど、紙と鉛筆で学ぶ回帰分析の理論ってそんなもん。

他にも分散分析とかノンパラメトリックとかあるけれど、回帰分析だけ押さえておいて、暇すぎてやることがなかったらやるといいかな~という認識。

おわりに

理不尽なくらい難しい問題があった時もあるけれど(2014,2015)、根本は統計を支える数学がちゃんとわかっていますか?とまっとうに聞かれる出題になっていると思う。特に2016,2017をみて。

ただ、資格取るだけでなく、学んだことがそのまま実社会で活かせるし、分野を横断できるのが統計学だから、ここに挙げた5問を皮切りに全問解いてみてほしい。

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